参考资料：猴博士高分必备-30小时精通高数

曲线积分

第一类曲线积分 $\int_L…\mathrm ds$

积分曲线的 $x$, $y$ 与 $t$ 相关

若 $L$ 的方程为$\left\{\begin{array}{rl}
x=x(t)\\
y=y(t)\\
\end{array}\right.(\alpha\le t\le\beta)$

则 $\int_Lf(x,y)\mathrm ds=\int_\alpha^\beta f[x(t),y(t)]\sqrt{[x’(t)]^2+[y’(t)]^2}\mathrm dt$

如果没有明确说出 $x$, $y$ 与 $t$ 的关系，可以先尝试设 $x=t$ 或 $y=t$

扩展：

若 $L$ 的方程为$\left\{\begin{array}{rl}
x_1&=&x_1(t)\\
x_2&=&x_2(t)\\
&…&\\
x_n&=&x_n(t)
\end{array}\right.(\alpha\le t\le\beta)$

则 $\int_Lf(x_1, x_2, …, x_n)\mathrm ds=\int_\alpha^\beta f[x_1(t), x_2(t), …, x_n(t)]\sqrt{\sum_{i=1}^n[x_i’(t)]^2}\mathrm dt$

积分曲线和 $r$ 和 $\theta$ 有关

若 $L$ 的方程为 $r=r(\theta)(\alpha\le\theta\le\beta)$

则 $\int_Lf(x,y)\mathrm ds=\int_\alpha^\beta f[r\cos\theta, r\sin\theta]\sqrt{r^2+(r’)^2}\mathrm d\theta$

求解技巧

利用对称性快速计算第一类曲线积分

略

通过代入化简快速计算第一类曲线积分

将函数的部分内容根据题干替换为常数或好积分的形式

通过轮换对称性快速计算第一类曲线积分

若 $L$ 中 $x$ 与 $y$地位相等，则 $\int_Lf(x,y,z)\mathrm ds=\int_Lf(y,x,z)\mathrm ds$

通过积分曲线的形心快速计算第一类曲线积分

适用于好找形心，好算长度的曲线 $L$ 。如：圆，长方形

$\int_L(ax+by)\mathrm ds=(a\bar x+b\bar y)L$

第二类曲线积分 $\int_LP\mathrm dx+Q\mathrm dy$

若 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{rl}x=x(t)\\y=y(t)\end{array}\right.(\alpha\le t\le\beta)$

则 $\int_LP(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=\int_\alpha^\beta\{P[x(t),y(t)]x’(t)+Q(x(t),y(t)y’(t))\}\mathrm dt$

格林公式

若求 $\oint_LP\mathrm dx+Q\mathrm dy$ ，且满足以下条件：

$L$ 为无交叉闭合曲线
$P$ 、 $Q$ 在 $L$ 围成的区域 $D$ 里一直有意义
$\frac{\partial Q}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 在 $L$ 围成的区域 $D$ 里一直都连续

则：

$L$ 为正向/逆时针时： $\oint_LP\mathrm dx+Q\mathrm dy=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm dx\mathrm dy$
$L$ 为逆向/顺时针时： $\oint_LP\mathrm dx+Q\mathrm dy=-\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm dx\mathrm dy$

不能用格林公式的一种情况