参考资料:欧阳光中, 等. 数学分析:下册[M]. 第四版. 北京: 高等教育出版社, 2018:60-79.
设 yk=Aksin(kωx+φk) 代表一个周期为 Tk=2πkω 的简谐振动
设 y 是一个周期为 T=2πω=kTk 的函数,并且可以由 yk 累加在一个常数上得到,即 y=A0+∑∞k=1yk=A0+∑∞k=1Aksin(kωx+φk)
进一步推导可知
y=A0+∞∑k=1Aksin(kωx+φk)=A0+∞∑k=1Ak(sinkωxcosφk+coskωxsinφk)记 {a0=2A0,ak=Aksinφk,bk=Akcosφk ,则上式可写成 y=a02+∑∞k=1(akcoskωx+bksinkωx)
形如 y=a02+∑∞k=1(akcoskωx+bksinkωx) 的级数便是傅丽叶级数。将函数展开为傅丽叶级数的形式即为函数的傅丽叶级数展开。
三角函数的正交性
一个三角函数系 1,cosωx,sinωx,cos2ωx,sin2ωx,… 中任何两个不同的函数的乘积在一个周期内 [−πω,πω] 的积分等于零,就说明三角函数系在区间 [−πω,πω] 上正交。
因为当 n≠k 时,有
∫πω−πωsinnωxdx=0∫πω−πωcosnωxdx=0∫πω−πωsinnωxsinkωxdx=∫πω−πω−12{cos[(n+k)ωx]−cos[(n−k)ωx]}dx=0∫πω−πωsinnωxcoskωxdx=∫πω−πω12{sin[(n+k)ωx]+sin[(n−k)ωx]}dx=0∫πω−πωcosnωxcoskωxdx=∫πω−πω12{cos[(n+k)ωx]+cos[(n−k)ωx]}dx=0所以三角函数系正交。
此外,为了方便下文计算,我们在此处顺便计算两个积分:
∫πω−πωsin2nωxdx=−12∫πω−πωcos(2nωx)−1dx=πω∫πω−πωcos2nωxdx=12∫πω−πωcos(2nωx)+1dx=πω傅丽叶级数展开
并不是所有的以 T=2πω 为周期的函数 f(x) 都能进行傅丽叶级数展开。但是假设 f(x) 可以进行傅丽叶级数展开,也就是 f(x) 可以表示为 a02+∑∞k=1(akcoskωx+bksinkωx) 且级数一致收敛
对 f(x)=a02+∑∞k=1(akcoskωx+bksinkωx) 等号两边在 [−πω,πω] 上积分:
∫πω−πωf(x)dx=∫πω−πωa02+∞∑k=1(akcoskωx+bksinkωx)dx=a0πω即 a0=ωπ∫πω−πωf(x)dx
对 f(x)=a02+∑∞k=1(akcoskωx+bksinkωx) 等号两边先同乘 cosnωx 再在 [−πω,πω] 上积分:
∫πω−πωf(x)cosnωxdx=∫πω−πωa02cosnωx+∞∑k=1(akcoskωxcosnωx+bksinkωxcosnωx)dx=∫πω−πωancos2nωxdx=anπω所以 an=ωπ∫πω−πωf(x)cosnωxdx
对 f(x)=a02+∑∞k=1(akcoskωx+bksinkωx) 等号两边先同乘 sinnωx 再在 [−πω,πω] 上积分:
∫πω−πωf(x)sinnωxdx=∫πω−πωa02sinnωx+∞∑k=1(akcoskωxsinnωx+bksinkωxsinnωx)dx=∫πω−πωbnsin2nωxdx=bnπω所以 bn=ωπ∫πω−πωf(x)sinnωxdx
综上所述,如果以 T=2πω 为周期的函数 f(x) 可以进行傅丽叶级数展开,则
{f(x)∼a02+∞∑k=1(akcoskωx+bksinkωx)an=ωπ∫πω−πωf(x)cosnωxdxbn=ωπ∫πω−πωf(x)sinnωxdx这里记号 ∼ 表示右边是左边函数的傅丽叶级数。若式右边的级数在整个数轴上一致收敛于其和函数 f ,则 ∼ 可替换为等号。
收敛定理
若以 T=2πω 为周期的函数 f 在 [−πω,πω] 上分段光滑,则 ∀x∈[−πω,πω], f 的傅丽叶级数收敛于 f 在 x 左、右极限的算数平均值。即:
f(x+0)+f(x−0)2=a02+∞∑k=1(akcoskωx+bksinkωx)偶函数与奇函数的傅丽叶级数
设 f(x) 是以 T=2πω 为周期的偶函数,则 f(x)cosnωx 是偶函数, f(x)sinnωx 是奇函数
则有:
{an=ωπ∫πω−πωf(x)cosnωxdx=2ωπ∫πω0f(x)cosnωxdxbn=ωπ∫πω−πωf(x)sinnωxdx=0f(x)∼a02+∞∑k=1akcoskωx设 f(x) 是以 T=2πω 为周期的奇函数,则 f(x)cosnωx 是奇函数, f(x)sinnωx 是偶函数
则有:
{an=ωπ∫πω−πωf(x)cosnωxdx=0bn=ωπ∫πω−πωf(x)sinnωxdx=2ωπ∫πω0f(x)sinnωxdxf(x)∼∞∑k=1bksinkωx狄利克雷条件
之前说了这么多东西,都是假设 f(x) 可以进行傅丽叶级数展开或者 f(x) 展开后收敛。那么怎么判断一个函数能否展开且展开后收敛呢?
满足狄利克雷条件是函数可以进行傅丽叶级数展开且展开后收敛的充分不必要条件。
狄利克雷条件包含以下三点:
- 在一个周期内,函数连续或只有有限个第一类间断点
- 在一个周期内,极大值和极小值的数目是有限个
- 在一个周期内,函数绝对可积
为了证明这个条件,我们需要先证明几个引理
引理:贝塞尔(Bessel)不等式
若函数 f 在 [−πω,πω] 上可积,则
a202+∞∑n=1(a2n+b2n)≤ωπ∫πω−πωf2(x)dx其中 an, bn 为 f 的傅里叶系数。
证明:
令 Sm(x)=a02+∑mn=1(ancosnωx+bnsinnωx)
考察积分
∫πω−πω[f(x)−Sm(x)]2dx=∫πω−πωf2(x)dx−2∫πω−πωf(x)Sm(x)dx+∫πω−πωS2m(x)dx由于
∫πω−πωf(x)Sm(x)dx=a02∫πω−πωf(x)dx+m∑n=1(an∫πω−πωf(x)cosnωxdx+bn∫πω−πωf(x)sinnωxdx)根据付 {an=ωπ∫πω−πωf(x)cosnωxdxbn=ωπ∫πω−πωf(x)sinnωxdx 可得
∫πω−πωf(x)Sm(x)dx=π2ωa20+πωm∑n=1(a2n+b2n)对于 S2m 的积分,应用三角函数的正交性,有
∫πω−πωS2m(x)dx=∫πω−πω[a02+m∑n=1(ancosnωx+bnsinnωx)]2dx=(a02)2∫πω−πωdx+m∑n=1[a2n∫πω−πωcos2nωxdx+b2n∫πω−πωsin2nωxdx]∵∫πω−πωcos2nωxdx=∫πω−πωsin2nωxdx=πω∴原式=πa202ω+πωm∑n=1(a2n+b2n)代入
0≤∫πω−πω[f(x)−Sm(x)]2dx=∫πω−πωf2(x)dx−2∫πω−πωf(x)Sm(x)dx+∫πω−πωS2m(x)dx=∫πω−πωf2(x)dx−2[π2ωa20+πωm∑n=1(a2n+b2n)]+πa202ω+πωm∑n=1(a2n+b2n)=∫πω−πωf2(x)dx−π2ωa20−πωm∑n=1(a2n+b2n)∴a202+∞∑n=1(a2n+b2n)≤ωπ∫πω−πωf2(x)dx贝塞尔不等式证毕。
推论1
若 f 为可积函数,则 {lim
因为 \frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n^2+b_n^2\right) 收敛,所以当 n\rightarrow\infty 时,通项 a_n^2+b_n^2\rightarrow 0,也就有 a_n\rightarrow0 与 b_n\rightarrow0 。这个推论也称为黎曼-勒贝格定理。