参考教材：印凡成, 夏乐天, 等. 概率论与数理统计[M]. 第三版. 南京: 河海大学出版社, 2004,35:63.

离散型随机变量

随机变量的概念

设 $E$ 为随机试验，它的样本空间是 $\varOmega=\{\omega\}$ 。如果对于每一个 $\omega\in\varOmega$ ，有一个实数 $X(\omega)$ 与之对应，这样就得到一个定义在 $\varOmega$ 上的单值实函数 $X=X(\omega)$ ，称它为随机变量(Random Variable)，简记为 $r.v. X$ 。随机变量一般用英文大写字母 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 等表示 ，也可用希腊字母 $\xi$ 、$\eta$ 、$\zeta$ 等表示。

全部可能取值为有限个或可列无限个的随机变量为离散型随机变量

一维离散型随机变量的分布律

称 $p_k=P\{X=x_k\}, k=1,2,\cdots$ 为 $r.v. X$ 的分布律或概率分布

也可表为

$$X\sim P\{X=x_k\}=p_k$$

或

$$X\sim\begin{array}{c|ccccc} X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n & \cdots\\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n & \cdots \end{array}$$

分布率的性质：

1. $p_k\ge0$
2. $\sum_{k=1}^\infty p_k=1$

几个常见的离散型分布

退化分布（单点分布）

$$X\sim P\{X=a\}=1$$

其中 $a$ 为常数

即

$$X\sim\begin{array}{c|c} X & a\\ \hline P & 1 \end{array}$$

（0-1）分布（两点分布）

$$X\sim\begin{array}{c|c} X & 0 & 1\\ \hline P & 1-p & p \end{array}$$

或

$$X\sim P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}, (0\lt p\lt1, k=0,1)$$

几何分布

一次试验中只考虑某事件 $A$ 出现或不出现，设 $P(A)=p$ ， $P(A)=1-p$ 。现重复独立地做试验，一旦 $A$ 发生就立即停止试验。

以 $X$ 表示 $A$ 首次发生所需的试验次数，则其分布律为：

$$X\sim P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p$$

称 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布

二项分布 $X\sim B(n, p)$

以 $X$ 记 n 重贝努里试验中 $A$ 发生的次数，则其分布率为：

$$P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$$

称 $X$ 服从参数为 $(n，p)$ 的二项分布，记为 $X\sim B(n, p)$

泊松(Poisson)分布 $P(\lambda)$

$P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda};k=0,1,2,\cdots$

其中 $\lambda\gt0$ 为常数，称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松(Poisson)分布，记为 $X\sim P(\lambda)$ 。

泊松分布的应用

若 $X(t)$ 表示在时间区间 $[0, t]$ 中某服务台到达的顾客数。若 $X(t)$ 满足：

1. 无后效性：在不重叠的时间区间内到达的顾客数相互独立
2. 平稳性：在时间区间 $[a，a+t]$ 内到达的顾客数只与时间长度 $t$ 有关，而与区间起点 $a$ 无关
3. 普通性：当 $t$ 充分小时，在区间 $(a,a+t)$ 内到达两个或两个以上的顾客不可能
4. 非平凡性：在有限区间中只到达有限个顾客且不可能始终没有顾客到达

在上述条件下，在长度为 $t$ 的时间区间上到达的顾客数 $X(t)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布，其中 $\lambda\gt0$ 是一个常数。即

$$P\{X(t)=k\}=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}$$

负二项分布

以 $X$ 记可列重贝努里试验中 $A$ 恰好发生 $r$ 次所需的试验次数，则其分布率为：

$$P\{X=k\}=C_{k-1}^{r-1}(1-p)^{k-r}p^r, k=r,r+1,r+2,\cdots$$

称 $X$ 服从参数为 $(r, p)$ 的负二项分布，记为 $X\sim NB(r, p)$

负二项分布又叫帕斯卡(Pascal)分布

超几何分布

设 $N$ 个元素分为两类，其中 $M$ 个属于第一类， $N-M$ 个属于第二类。现从中按不重复抽样取 $n$ 个，以 $X$ 记这 $n$ 个中属于第一类元素的个数。则 $X$ 的分布律为：

$$P\{X=k\}=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$$

称 $X$ 服从参数为 $(N, M, n)$ 的超几何分布。

常用分布律之间的关系

1. （0-1） 分布是二项分布 $B(n, p)$ 中 $n＝1$ 时的特例。
2. 几何分布是负二项分布 $NB(r, p)$ 中 $r＝1$ 时的特例。
3. 超几何分布和二项分布的关系：

设在超几何分布中， $n$ 是一个取定的正整数，而 $\lim_{N\rightarrow\infty}\frac MN=p$ ，则

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$$

即：当 $N$ 充分大时，超几何分布趋向于二项分布。

事实上，超几何分布用来描述不放回抽样的情况，而二项分布则用来描述放回抽样的情况，当 $N$ 充分大时，两种抽样方式的差别很小。

1. 二项分布和泊松分布的关系

设随机变量 $X_n\sim B(n, p_n), (n＝0, 1, 2, \cdots)$ ，且 $\lim_{n\rightarrow\infty}np_n=\lambda\gt0$ ， $\lambda$ 为常数，则

$$\lim_{n\rightarrow\infty}C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$

该定理也称为泊松定理。

泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当 $n$ 很大， $p$ 很小时，二项分布就可近似地看成是泊松分布。其中 $\lambda=np$

一般的，当 $n\ge10, p\le0.1$ 时就可用泊松分布近似代替二项分布。

二维离散型随机变量

联合分布律

若二维随机变量 $(X,Y)$ 只能取至多可列个值 $(x_i,y_j), (i,j＝1, 2, \cdots)$ ，则称 $(X,Y)$ 为二维离散型随机变量。

若二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 取 $(x_i,y_j)$ 的概率为 $p_{ij}$，即 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},(i,j=1,2,\cdots)$

则称 $p_{ij}$ 为二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的分布律，或随机变量 $X$ 与 $Y$ 的联合分布律。
可记为

$$(X,Y)\sim P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},(i,j=1,2,\cdots)$$

联合分布律的性质

1. $p_{ij}\ge0,i,j=1,2,\cdots$
2. $\sum\limits_{i=1}^\infty\sum\limits_{j=1}^\infty p_{ij}=1$

二维离散型随机变量的联合分布律也可列表表示如下：

$$\begin{array}{c|c} X\diagdown Y & y_1 & y_2 & \cdots & y_j & \cdots\\ \hline x_1 & p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1j} & \cdots\\ x_2 & p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2j} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \\ x_i & p_{i1} & p_{i2} & \cdots & p_{ij} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \\ \end{array}$$

边缘分布律

若随机变量 $X$ 与 $Y$ 的联合分布律为

$$(X,Y)\sim P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},(i,j=1,2,\cdots)$$

则称

$$P\{X=x_i\}=p_{i\cdot}=\sum_{j=1}^\infty p_{ij},i=1,2,\cdots$$

为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布律

同理，

$$P\{Y=y_j\}=p_{\cdot j}=\sum_{i=1}^\infty p_{ij},j=1,2,\cdots$$

称为 $(X,Y)$ 关于 $Y$ 的边缘分布律

边缘分布律自然也满足分布律的性质：

1. $p_{i\cdot}\ge0;(p_{\cdot j}\ge0)$
2. $\sum\limits_{i=1}^\infty p_{i\cdot}=1;(\sum\limits_{j=1}^\infty p_{\cdot j}=1)$

二维离散型随机变量的边缘分布律也可列表表示如下：

$$\begin{array}{c|ccccc|} X\diagdown Y & y_1 & y_2 & \cdots & y_j & \cdots & p_{i\cdot}\\ \hline x_1 & p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1j} & \cdots & p_{1\cdot}\\ x_2 & p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2j} & \cdots & p_{2\cdot}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ x_i & p_{i1} & p_{i2} & \cdots & p_{ij} & \cdots & p_{i\cdot}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ \hline p_{\cdot j} & p_{\cdot 1} & p_{\cdot 2} & \cdots & p_{\cdot j} & \cdots & 1 \end{array}$$

条件分布律

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的联合分布律为

$$(X,Y)\sim P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},(i,j=1,2,\cdots)$$

$X$ 和 $Y$ 的边缘分布律为

$$P\{X=x_i\}=p_{i\cdot}\\ P\{Y=y_j\}=p_{\cdot j}$$

若对固定的 $j, p_{\cdot j}\gt0$ ，则称

$$P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$$

为 $Y=y_j$ 的条件下， $X$ 的条件分布律

记为

$$p_{i|j}=P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$$

同理，若对固定的 $i, p_{i\cdot}\gt0$ ，则称

$$p_{j|i}=P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}$$

为 $X=x_i$ 的条件下， $Y$ 的条件分布律

条件分布律也满足分布律的性质

离散型随机变量的相互独立性

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的联合分布律为

$$(X,Y)\sim P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},(i,j=1,2,\cdots)$$

若对任意的 $i, j$ 有 $p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}$

即

$$P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\}$$

则称随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立。

上述独立的概念不难推广到n维离散型随机变量的情形。

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为一个 $n$ 维离散型随机变量，若对任意的 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 有

$$P\{X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n\}=P\{X_1=x_1\}P\{X_2=x_2\}\cdots P\{X_n=x_n\}$$

则称随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立。

以 $X$ 记 $n$ 重贝努里试验中 $A$ 发生的次数，则 $X\sim B(n,p)$

若记 $X_i=\left\{\begin{aligned}
1& & 若在第 i 次试验中 A 发生 \\
0& & 若在第 i 次试验中 A 不发生
\end{aligned}\right.$

$$X_i\sim\begin{array}{c|cc} X & 0 & 1\\ \hline P & 1-p & p \end{array}$$

且 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立

于是有

$$X=X_1+X_2+\cdots+X_n$$

若 $r.v. X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立且服从同一 0-1 分布，则

$$\sum_{i=1}^nX_i\sim B(n,p)$$

离散型随机变量函数的分布律

一维离散型随机变量函数的分布律

设 $X$ 一个随机变量，若 $y＝g(x)$ 是一元单值实函数，则 $Y＝g(X)$ 也是一个随机变量。

若

$$X\sim P{X=x_k}=p_k,k=1,2,\cdots$$

则

$$Y=g(x)\sim P\{Y=g(x_k)\}=p_k$$

其中 $g(x_k)$ 有相同的，其对应概率合并。

显然， $Y$ 的分布律也满足分布律性质。

多维离散型随机变量函数的分布律

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是一个 $n$ 维随机变量，若 $y=g(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 是一个 $n$ 元实值函数，则 $Y=g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 也是一个随机变量