参考教材:印凡成, 夏乐天, 等. 概率论与数理统计[M]. 第三版. 南京: 河海大学出版社, 2004,64:117.
一维连续型随机变量及其概率分布
分布函数的概念
设 X 为随机变量,对任意实数 x 事件 {X≤x} 的概率 P{X≤x} 称为随机变量 X 的分布函数。记为 F(x)=P{X≤x}
易知,对任意实数 a,b(a<b) 有:
- P{a<X≤b}=P{X≤b}−P{X≤a}=F(b)−F(a)
- P{X>a}=1−F(a)
- P{X<a}=F(a−0)
- P{a<X<b}=F(b−0)−F(a)
分布函数具有单调不减性、非负规范性和右连续性。具有上述三个性质的实函数,必是某个随机变量的分布函数。
一维连续型随机变量和密度函数的概念
对于随机变量 X ,若存在非负可积函数 f(x)(−∞<x<+∞),使对任意实数 x ,都有 F(x)=P(X<x)=∫x−∞f(d)du 则称 X 为连续型随机变量, f(x) 为 X 的概率密度函数,简称概率密度或密度函数。
记为 X∼f(x),(−∞<x<+∞)
连续型随机变量的分布函数 F(x) 为连续函数。
密度函数的性质
- f(x)≥0,(−∞<x<+∞)
- ∫+∞−∞f(x)dx=1
性质1, 2是密度函数的充要性质
- 若 x 是 f(x) 的连续点, f(x)=dF(x)dx
- 改变 f(x) 在个别点的函数值不影响 F(x) 。
- ∀x,P{X=x}=∫xxf(u)du=0
- 几何意义
对 ∀b∈R ,若 X∼f(x),(−∞<x<+∞) ,则 P{X=b}=0。
即:连续型随机变量取单点值的概率为零。
几个常用的连续型分布
- 均匀分布
若 X∼f(x)={1b−a,a<x<b0,otherwise
则称 X 在 (a,b) 内服从均匀分布。记为 X∼U(a,b)
相应地还有 U[a,b],U[a,b),U(a,b]
- 指数分布
若 X∼f(x)={λe−λx,x≥00,x<0
则称 X 服从参数为 λ>0 的指数分布
其对应的分布函数为 F(x)={1−e−λx,x>00,x≤0
指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。
指数分布的性质:无记忆性
∀s>0,∀t>0P{X>s+t∣X>s}=P{X>s+t}P{X>s}=e−λt- 正态分布(高斯分布)
若 X∼f(x)=1√2πσe−(x−μ)22σ2,−∞<x<+∞
其中 σ>0,μ 为实数,则称 X 服从参数为 (μ,σ2) 的正态分布,记为 N(μ,σ2) ,可表为 X∼N(μ,σ2)
正态分布有三个特征:
- 单峰对称:其图形关于直线 x=μ 对称, f(μ)=maxf(x)=1√2πσ
- 有两个拐点 (μ−σ,f(μ−σ));(μ+σ,f(μ+σ))
- σ 的大小直接影响概率的分布
标准正态分布: μ=0,σ2=1 的正态分布
若 X∼N(μ,σ2) ,则 X−μσ∼N(0,1)
一般地对于 X∼N(0,1) ,如 zα 满足 P{X>zα}=α(0<α<1) 则称 zα 为标准正态分布的上 α 分位点。
二维连续型随机变量及其分布
- 联合分布函数
设 (X,Y) 是二维随机变量, (x,y)∈R2 ,则称 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} 为 (X,Y) 的分布函数,或 X 与 Y 的联合分布函数。
对于 (x1,y1),(x2,y2)∈R2(x1<x2,y1<y2) 则 P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)−F(x1,y2)−F(x2,y1)+F(x1,y1)
- 非负规范
- 单调不减
- 右连续
- 矩形不等式
</p></p>- 边缘分布
FX(x)=F(x,+∞)=limy→∞F(x,y)=P{X≤x,Y<+∞}=P{X≤x}
称为二维随机变量 (X,Y) 关于 X 的边缘分布函数