概率论与数理统计笔记03——连续型随机变量

参考教材:印凡成, 夏乐天, 等. 概率论与数理统计[M]. 第三版. 南京: 河海大学出版社, 2004,64:117.

一维连续型随机变量及其概率分布

分布函数的概念

X 为随机变量,对任意实数 x 事件 {Xx} 的概率 P{Xx} 称为随机变量 X分布函数。记为 F(x)=P{Xx}

易知,对任意实数 a,b(a<b) 有:

  • P{a<Xb}=P{Xb}P{Xa}=F(b)F(a)
  • P{X>a}=1F(a)
  • P{X<a}=F(a0)
  • P{a<X<b}=F(b0)F(a)

分布函数具有单调不减性非负规范性右连续性。具有上述三个性质的实函数,必是某个随机变量的分布函数。

一维连续型随机变量和密度函数的概念

对于随机变量 X ,若存在非负可积函数 f(x)(<x<+),使对任意实数 x ,都有 F(x)=P(X<x)=xf(d)du 则称 X 为连续型随机变量, f(x)X概率密度函数,简称概率密度密度函数

记为 Xf(x),(<x<+)

连续型随机变量的分布函数 F(x) 为连续函数。

密度函数的性质

  1. f(x)0,(<x<+)
  2. +f(x)dx=1

性质1, 2是密度函数的充要性质

  1. xf(x) 的连续点, f(x)=dF(x)dx
  2. 改变 f(x) 在个别点的函数值不影响 F(x)
  3. x,P{X=x}=xxf(u)du=0
  4. 几何意义

bR ,若 Xf(x),(<x<+) ,则 P{X=b}=0

即:连续型随机变量取单点值的概率为零。

几个常用的连续型分布

  1. 均匀分布

Xf(x)={1ba,a<x<b0,otherwise

则称 X(a,b) 内服从均匀分布。记为 XU(a,b)

相应地还有 U[a,b],U[a,b),U(a,b]

  1. 指数分布

Xf(x)={λeλx,x00,x<0

则称 X 服从参数为 λ>0 的指数分布

其对应的分布函数为 F(x)={1eλx,x>00,x0

指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。

指数分布的性质:无记忆性

s>0,t>0P{X>s+tX>s}=P{X>s+t}P{X>s}=eλt
  1. 正态分布(高斯分布)

Xf(x)=12πσe(xμ)22σ2,<x<+

其中 σ>0,μ 为实数,则称 X 服从参数为 (μ,σ2) 的正态分布,记为 N(μ,σ2) ,可表为 XN(μ,σ2)

正态分布有三个特征:

  1. 单峰对称:其图形关于直线 x=μ 对称, f(μ)=maxf(x)=12πσ
  2. 有两个拐点 (μσ,f(μσ));(μ+σ,f(μ+σ))
  3. σ 的大小直接影响概率的分布

标准正态分布: μ=0,σ2=1 的正态分布

XN(μ,σ2) ,则 XμσN(0,1)

一般地对于 XN(0,1) ,如 zα 满足 P{X>zα}=α(0<α<1) 则称 zα 为标准正态分布的α 分位点

二维连续型随机变量及其分布

  1. 联合分布函数

(X,Y) 是二维随机变量, (x,y)R2 ,则称 F(x,y)=P{Xx,Yy}(X,Y)分布函数,或 XY联合分布函数

对于 (x1,y1),(x2,y2)R2(x1<x2,y1<y2)P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)

  1. 非负规范
  2. 单调不减
  3. 右连续
  4. 矩形不等式
    </p></p>
    1. 边缘分布

FX(x)=F(x,+)=limyF(x,y)=P{Xx,Y<+}=P{Xx}

称为二维随机变量 (X,Y) 关于 X 的边缘分布函数

二维连续型随机变量及其密度函数