概率论与数理统计笔记03——连续型随机变量

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参考教材：印凡成, 夏乐天, 等. 概率论与数理统计[M]. 第三版. 南京: 河海大学出版社, 2004,64:117.

一维连续型随机变量及其概率分布

分布函数的概念

设 $X$ 为随机变量，对任意实数 $x$ 事件 $\{X\le x\}$ 的概率 $P\{X\le x\}$ 称为随机变量 $X$ 的分布函数。记为 $F(x)=P\{X\le x\}$

易知，对任意实数 $a,b(a\lt b)$ 有：

  • $P\{a\lt X\le b\}=P\{X\le b\}-P\{X\le a\}=F(b)-F(a)$
  • $P\{X\gt a\}=1-F(a)$
  • $P\{X\lt a\}=F(a-0)$
  • $P\{a\lt X\lt b\}=F(b-0)-F(a)$

分布函数具有单调不减性、非负规范性和右连续性。具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。

一维连续型随机变量和密度函数的概念

对于随机变量 $X$ ，若存在非负可积函数 $f(x)(-\infty\lt x\lt+\infty)$，使对任意实数 $x$ ，都有 $F(x)=P(X\lt x)=\int_{-\infty}^xf(d)\mathrm du$ 则称 $X$ 为连续型随机变量， $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。

记为 $X\sim f(x), (-\infty\lt x\lt+\infty)$

连续型随机变量的分布函数 $F(x)$ 为连续函数。

密度函数的性质

  1. $f(x)\ge0,(-\infty\lt x\lt+\infty)$
  2. $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm dx=1$

性质1, 2是密度函数的充要性质

  1. 若 $x$ 是 $f(x)$ 的连续点， $f(x)=\frac{\mathrm dF(x)}{\mathrm dx}$
  2. 改变 $f(x)$ 在个别点的函数值不影响 $F(x)$ 。
  3. $\forall x, P\{X=x\}=\int_x^xf(u)\mathrm du=0$
  4. 几何意义

对 $\forall b\in R$ ，若 $X\sim f(x),(-\infty\lt x\lt+\infty)$ ，则 $P\{X=b\}=0$。

即：连续型随机变量取单点值的概率为零。

几个常用的连续型分布

  1. 均匀分布

若 $X\sim f(x)=\left\{\begin{aligned}
\frac1{b-a},&&a\lt x\lt b\\
0, &&otherwise
\end{aligned}\right.$

则称 $X$ 在 $(a,b)$ 内服从均匀分布。记为 $X\sim U(a,b)$

相应地还有 $U[a,b],U[a,b),U(a,b]$

  1. 指数分布

若 $X\sim f(x)=\left\{\begin{aligned}
\lambda e^{-\lambda x}, &&x\ge0\\
0, &&x\lt0
\end{aligned}\right.$

则称 $X$ 服从参数为 $\lambda\gt0$ 的指数分布

其对应的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{aligned}
1- e^{-\lambda x}, &&x\gt0\\
0, &&x\le0
\end{aligned}\right.$

指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。

指数分布的性质：无记忆性

  1. 正态分布（高斯分布）

若 $X\sim f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty<x<+\infty$

其中 $\sigma\gt0, \mu$ 为实数，则称 $X$ 服从参数为 $(\mu, \sigma^2)$ 的正态分布，记为 $N(\mu, \sigma^2)$ ，可表为 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$

正态分布有三个特征：

  1. 单峰对称：其图形关于直线 $x=\mu$ 对称， $f(\mu)=\max f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}$
  2. 有两个拐点 $(\mu-\sigma, f(\mu-\sigma));(\mu+\sigma, f(\mu+\sigma))$
  3. $\sigma$ 的大小直接影响概率的分布

标准正态分布： $\mu=0,\sigma^2=1$ 的正态分布

若 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$ ，则 $\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$

一般地对于 $X\sim N(0,1)$ ，如 $z_\alpha$ 满足 $P\{X\gt z_\alpha\}=\alpha(0\lt\alpha\lt1)$ 则称 $z_\alpha$ 为标准正态分布的上 $\alpha$ 分位点。

二维连续型随机变量及其分布

  1. 联合分布函数

设 $(X, Y)$ 是二维随机变量， $(x,y)\in R^2$ ，则称 $F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$ 为 $(X,Y)$ 的分布函数，或 $X$ 与 $Y$ 的联合分布函数。

对于 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in R^2(x_1\lt x_2, y_1\lt y_2)$ 则 $P\{x_1\lt X\le x_2,y_1\lt Y\le y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)$

  1. 非负规范
  2. 单调不减
  3. 右连续
  4. 矩形不等式
    </p></p>
    1. 边缘分布

$F_X(x)=F(x,+\infty)=\lim_{y\to\infty}F(x,y)=P\{X\le x, Y\lt+\infty\}=P\{X\le x\}$

称为二维随机变量 $(X, Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布函数

二维连续型随机变量及其密度函数